SUKU BANYAK ( POLINOMIAL )
a. Pengertian sukubanyak:
anxn
+ an-1xn-1 + an-2xn-2 + ...+ a1x
+ a0 adalah suku banyak dalam x berderajat n, dengan n bilangan
cacah dan an ≠ 0 . Bilangan ak dinamakan koefesien suku
yang memuat xk.
Contoh :
7x5 – 3x4 +2x3 – 5x + 6
adalah suku banyak berderajat 5 ( dengan cara melihat pangkat tertinggi dari
persamaan tersebut ) koefesien x5 adalah 7, koefesien x4
adalah – 3.
b. Nilai Suku banyak
1. Nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f (k)
a. Cara substitusi
Contoh :
Tentukan nilai suku banyak berikut ini : f(x) = 2x5 + x4
– 3x2 + 1 untuk x = 2
Jawab :
Untuk x = 2 , nilai suku banyak adalah f (2)
f(x) = 2x5 + x4
– 3x2 + 1
f(x) = 2.25 + 24
– 3.22 + 1
f(x) = 64 + 16 – 12 + 1 = 69
b. Cara Skemetik (koefesien ditulis
secara berurutan dari derajat tertinggi )
Contoh :
Tentukan nilai suku banyak berikut : f(x)
= 3x4 – 2x3 + 5x2 + x – 6 untuk x = 2
2
|
3
|
-2
|
5
|
1
|
-6
|
|
6
|
8
|
26
|
54
|
+
|
||
3
|
4
|
13
|
27
|
48
|
Jadi nilai suku banyak untuk x = 2 adalah 48
2. Operasi pada suku banyak
Contoh :
f (x) = 3x3 – 2x2
+ x – 6 g
(x) = x3 + x2 – 3x + 5
a. penjumlahan
f(x) + g(x) =
(3x3 – 2x2 + x – 6) + (x3 + x2
– 3x + 5)
= 3x3 – 2x2 + x – 6 + x3
+ x2 – 3x + 5
= 4x3 – x2 – 2x - 1
b. pengurangan
f(x) - g(x) =
(3x3 – 2x2 + x – 6) - (x3 + x2
– 3x + 5)
= 3x3 – 2x2 + x – 6 x3 - x2 + 3x - 5
= 2x3 – 3x2 – 4x - 11
c. perkalian
f(x) + g(x) =
(3x3 – 2x2 + x – 6) . (x3 + x2
– 3x + 5)
= 3x6 + x5 - 10x4
+ 16x3 – 19x2 + 23x – 30
c. Pembagian sukubanyak:
1. Pembagian suku banyak dengan (x – k)
Jika suku banyak f(x) dibagi dengan
(x –k), maka hasil baginya H(x) dan sisanya S, sehingga f(x) = (x-k) H(x) + S
Contoh :
Tentukan hasil bagi dan sisanya ;
(3x4 – 2x3 + x2 + 5x – 2) : ( x – 2)
Pembagian dapat dikerjakan dengan 2
cara :
a. Cara bersusun
3x3
|
+
|
4x2
|
+
|
9x
|
+
|
23
|
|||||||||||||
x - 2
|
3x4
|
-
|
2x3
|
+
|
x2
|
+
|
5x
|
-
|
2
|
||||||||||
3x4
|
-
|
6x3
|
-
|
||||||||||||||||
4x3
|
+
|
x2
|
|||||||||||||||||
4x3
|
-
|
8x2
|
-
|
||||||||||||||||
9x2
|
+
|
5x
|
|||||||||||||||||
9x2
|
-
|
18x
|
-
|
||||||||||||||||
23x
|
-
|
2
|
|||||||||||||||||
23
|
-
|
46
|
-
|
||||||||||||||||
44
|
|||||||||||||||||||
Jadi hasil bagi = 3x3 + 4x2 + 9x + 23 , sisa = 44
b. Cara skematik atau sintetik atau horner
2
|
3
|
-2
|
1
|
5
|
-2
|
|||
6
|
8
|
18
|
46
|
|||||
3
|
4
|
9
|
23
|
44
|
⇾ Sisa
|
Jadi hasil bagi = 3x3 + 4x2 + 9x + 23 , sisa = 44
2. Pembagian suku banyak dengan (ax + b)
Pembagian suku banyak dengan (ax +
B) , maka hasilnya H(x)/a dan sisanya S, sehingga f(x) = (x + b/a) H(x) + S
atau (ax + b) H(x)/a + S
Contoh :
Tentukan nilai bagi dan sisanya :
(2x3 – 3x2 + 5x + 3) ; (2x – 1)
Jawab ;
½
|
2
|
-3
|
5
|
3
|
|||||
1
|
-1
|
2
|
|||||||
2
|
-2
|
4
|
5
|
⇾
|
Sisa
|
Jadi , hasil bagi = (2x2
– 2x + 4) /2 = x2 – x + 2
Sisa = 5
3. Pembagian suku banyak f(x) dibagi dengan ax2 + bx + c dengan a≠0 , hasil baginya H(x) dan sisanya px + q , maka f(x) = (ax2+bx+c).H(x)
+ px + q
a. pembagian dapat difaktorkan
Contoh :
Tentukan sisa pembagian
(3x4 + x2 – 5x + 7) : (x2 – 3x + 2)
Cara I :
3x4 + x2
– 5x + 7 = ( x2 – 3x + 2 )
H(x) + ( px + q )
= ( x - 1 ) ( x – 2 ) H(x) + ( px + q )
x = 1 ⇾ 3
+ 1 – 5 + 7 = p + q
p + q = 6 ....... (i)
x = 2 ⇾ 48
+ 4 – 10 + 7 = 2p + q
2p + q = 49 ......(ii)
Dari persamaan (i) dan
(ii) diperoleh : 2p + q = 49
p + q =
6 –
p
= 43
untuk p = 43 , maka q =
- 37 ⇾ jadi sisanya = 43x – 37
Cara II :
Pembagian = (x2
– 3x + 2) = (x – 1)(x – 2) = P1,P2
1
|
3
|
0
|
1
|
-5
|
7
|
||
3
|
3
|
4
|
-1
|
+
|
|||
3
|
3
|
4
|
-1
|
6
|
⇾
|
S1
|
|
2
|
6
|
1
|
44
|
+
|
|||
3
|
9
|
22
|
43
|
⇾
|
S2
|
Sisa p = P1.S2
+ S1 = (x-1).43 + 6 = 43x – 37
b. pembagian tidak dapat difaktorkan
tentukan sisa pembagian
: (3x3 +4x – 8) : (3x2 +x +2)
Jawab :
Diselesaikan dengan cara
identik : f(x) = pembagi x hasil bagi + sisa
Karena pembagi
berderajat 2, maka sisa berderajat 1 dan misalkan dengan (px +q)
(3x3 + 4x –
8) = (3x2 + x + 2) H(x) + (px + q)
= (3x2 + x + 2)(x + b) + (px +
q)
= 3x3 + 3b2x2
+ x2 + bx + 2x + 2b + px + q
= 3x3 + (3b + 1)x2 +
(b + 2 + p)x + (2b + q)
Koefesien x2
= 0 ⇾ 3b + 1 = 0 ⇾ b = - 1/3
Koefesien x = 4 ⇾ b + 2 + p = 4 ⇾ p = 7/3
Koefesien x0
= -8 ⇾ 2b + q = -8 ⇾ q = - 22/3
Jadi sisa = px + q =
7x/3 – 22/3
a. Pembagian
Sukubanyak f(x) oleh ax + b
Jika f(x) dibagi ax + b bersisa
S, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai:
f(x) = (ax + b)H(x) + S
Dengan mengambil x = – b/a , maka kita peroleh:
f ( -b/a ) = 0 · H(x) + S
f ( -b/a ) = S
Ini berarti bahwa sisa pembagian
sukubanyak f(x) oleh ax + b adalah S = f ( -b/a ) .
b. Pembagian
Sukubanyak f(x) oleh (ax + b)(cx + d)
Jika f(x) dibagi (ax + b)(cx + d) bersisa
S(x) = px + q, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai:
f(x)
= (ax + b)(cx + d)H(x) + S(x)
Dengan mengambil
x = – b/a , maka kita peroleh:
f ( -b/a ) = 0 · (cx + d) · H(x)
+ (px + q)
f ( -b/a ) = px + q
.............. (1)
Dengan mengambil x = – c/d , maka kita peroleh:
f ( -c/d ) = (ax + b) · 0 · H(x)
+ (px + q)
f ( -c/d ) = px +
q............... (2)
Ini berarti bahwa sisa pembagian suku
banyak f(x) oleh (ax + b)(cx + d) adalah
S(x)
= px + q, dengan p dan q merupakan penyelesaian simultan dari persamaan (1) dan
(2).
2. Teorema faktor
(x – k) merupakan faktor
dari f(x) jika dan hanya jika f(k) = 0
2.1 Teorema Faktor untuk Mencari Akar
Jika
terdapat sukubanyak f(x) dan f(k) = 0, maka k merupakan akar dari f(x).
Sebaliknya, jika k merupakan akar akar dari f(x), maka f(k) = 0.
2.2 Persamaan Sukubanyak
a. Jika x1, x2, dan x3
akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka:
1) x1 + x2
+ x3 = - b/a
2) x1 · x2
+ x1 · x3 + x2 · x3 =c/a
3) x1 · x2
· x3 = - d/a
b. Jika x1, x2, x3,
dan x4 akar-akar persamaan ax4 + bx4 + cx2
+ dx + e = 0, maka:
1) x1 + x2
+ x3 + x4 = - b/a
2) x1 · x2
+ x1 · x3 + x1 · x4 + x2
· x3 + x2 · x4 + x3 · x4
= c/a
3) x1 · x2
· x3 + x1 · x2 · x4 + x1
· x3 · x4 + x2 · x3 · x4
= - d/a
4) x1
· x2 · x3 · x4 = e/a
Makasih bgt bro info nya, sangat bermanfaat buat saya. hehe
BalasHapusJangan Lupa mampir ke blog EXPO Lowongan Kerja Terbaru ane ya Lowongan Kerja PT. Kaltim Prima Coal